Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений
1. Введение
Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.
Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям и оказались достаточно эффективными, [5-11].
Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения.
2. Цвет и яркость спектозонального изображения.
Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными чувствительностями 
j =1,2,…, n , где Î (0, ¥ ) — длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e ( ) ³ 0, Î (0, ¥ ), далее называемой излучением, образуют вектор 
, w = 
. Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов 
, Î (0, ¥ ), и соответствующий суммарный сигнал 
назовем яркостью излучения e . Вектор 
назовем цветом излучения e . Если 
цвет e и само излучение назовем черным . Поскольку равенства 
и 
эквивалентны, равенство 
имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае 
— произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e назовем белым и его цвет обозначим 
если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:
.
Векторы 
, и 
, 
, удобно считать элементами n -мерного линейного пространства 
. Векторы f e , соответствующие различным излучениям e , содержатся в конусе 
. Концы векторов 
содержатся в множестве 
, где Ï — гиперплоскость 
.
Далее предполагается, что всякое излучение 
, где E — выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями 
все их выпуклые комбинации (смеси) 
Поэтому векторы 
в образуют выпуклый конус 
, а векторы 
.
Если 
то и их аддитивная смесь 
. Для нее
. (1)
Отсюда следует
Лемма 1. Яркость f e и цвет j e любой аддитивной смеси e излучений e 1 ( × ),…,e m ( × ) , m=1,2,… определяются яркостями и цветами слагаемых .
Подчеркнем, что равенство 
, означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e и 
, как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e на 
в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.
Далее предполагается, что вектор w таков, что в E можно указать базовые излучения 
, для которых векторы 
, j =1,…, n , линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными , 
, j =1,…, n . В таком случае излучение 
характеризуется лишь цветом 
, j =1,…, n .
Для всякого излучения e можно записать разложение
, (1*)
в котором 
— координаты 
в базисе 
,
или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, — 
, где 
, 
, — выходной сигнал i- го детектора, отвечающий j- ому излучению e j ( × ), i , j =1,…, n . Матрица 
— стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений 
неотрицательны и 
, j =1,…, n. При этом яркость 
и вектор цвета 
, 
, j =1,…, n , (конец которого лежит в Ï) определяются координатами a j и цветами излучений 
, j =1,…, n , и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e .
В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: 
.
Заметим, что слагаемые в (1*), у которых a j 0: 
. В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.
Определим в 
скалярное произведение 
и векторы 
, биортогонально сопряженные с 
: 
, i , j =1,…, n .
Лемма 2. В разложении (1*) 
, j=1,…,n , 
. Яркость 
, где 
, причем вектор ортогонален гиперплоскости Ï, так как 
, i,j=1,…,n.
Что касается скалярного проиведения 
, то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов 
были координатами f e в некотором ортонормированном базисе 
. В этом базисе конус 
. Заметим, что для любых векторов 
и, тем более, для 
, 
.
Пусть Х — поле зрения, например, ограниченная область на плоскости R 2 , или на сетке 
, 
спектральная чувствительность j -го детектора излучения, расположенного в точке 
; 
— излучение, попадающее в точку 
. Изображением назовем векторнозначную функцию 
(2**)
Точнее, пусть Х — поле зрения, ( Х , С , ) — измеримое пространство Х с мерой C — s -алгебра подмножеств X . Цветное (спектрозональное) изображение 
определим равенством
, (2)
в котором почти для всех 
, 
, — m -измеримые функции на поле зрения X , такие, что
.
Цветные изображения образуют подкласс функций 
лебеговского класса 
функций 
. Класс цветных изображений обозначим L E , n .
Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент 
называется цветным изображением, а условие
(2*)
условием физичности изображений f ( × ).
Если f — цветное изображение (2), то 
, как нетрудно проверить, — черно-белое изображение [2], т.е. 
, 
. Изображение 
, назовем черно-белым вариантом цветного изображения f , а цветное изображение 
, f(x) ¹ 0 , x Î X — цветом изображения f . В точках множества Â={ x Î X : f ( x )=0} черного цвета ( x ), x Î Â, — ï роизвольные векторы из 
, удовлетворяющие условию: яркость ( x )=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f будем также называть цветное изображение b ( × ), имеющее в каждой точке Х ту же яркость, что и f , b(x)=f(x), x Î X , и белый цвет, b (x)= b (x)/b(x)= b , x Î X.
3. Форма цветного изображения.
Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием 
, в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения 
в каждой точке 
при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке у вектора f (x) может измениться длина, но направление останется неизменным.
Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но — пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом j нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f (x) в терминах преобразования его цвета j ( × ). Для этого определим отображение A ( × ): 
, ставящее в соответствие каждому вектору цвета 
подмножество поля зрения 
в точках которого изображение 
, имеет постоянный цвет 
.
Пусть при рассматриваемом изменении освещения 
и, соответственно, 
; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет 
преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A ( j ), хотя, вообще говоря, — другим, отличным от j . Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство 
влечет 
. Если 
— самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A ( j ¢ ) и A ( j ) цвет изображения может оказаться одинаковым.
Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.
Для определения понятия формы цветного изображения f ( × ) на 
удобно ввести частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1) 
, 2) 
, 
, то 
, 
; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, 
, если . Отношение p интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, означает, что изображения f и g сравнимы по форме, причем форма g не сложнее, чем форма f . Если и 
, то f и g назовем совпадающими по форме (изоморфными), f ~
g . Например, если f и g — изображения одной и той же сцены, то g , грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f , если .
В рассматриваемом выше примере преобразования изображений 
если между множествами A ( j ), и A ¢ ( j ¢ ), 
существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция 
, такая, что A ¢ ( j ¢ ( j ))= A ( j ), 
, причем 
, если 
. В этом случае равенства 
и 
эквивалентны, 
и 
изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.
Если же не взаимно однозначно, то A ¢ ( j ¢ )= U A ( j ) и 
. В этом случае равенство влечет (но не эквивалентно) 
, 
передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в .
Пусть, скажем, g — черно-белый вариант f , т.е. g(x)=f(x) и g (x)/g(x)= b , x Î X . Если преобразование 
— следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f g изображения одной и той же сцены, но в g вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то . Пусть F — некоторая полугруппа преобразований 
, тогда для любого преобразования F Î F 
, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f , то они, тем более, не будут отражены в g .
Формой 
изображения f назовем множество изображений 
, форма которых не сложнее, чем форма f` , и их пределов в 
(черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство 
, содержащее 
. Если считать, что для любого изображения 
, то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости в в том смысле, что 
.
Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований.
4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.
Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде 
здесь 
— индикаторные функции непересекающихся подмножеств А i , i=1,……,N, положительной меры поля зрения Х , на каждом из которых функции 
, 
, j =1,…, n , i =1,…, N , непрерывны. Поскольку согласно лемме 2
, (3)
то цветное изображение f e , такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве A i , i =1,…, N . Для изображения 
, 
где 
, также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом A i , если 
, — непрерывные функции.
Если, в частности, цвет и яркость 
постоянны на A i , i =1,…, N , то это верно и для всякого изображения 
, если 
не зависит явно от 
. Для такого изображения примем следующее представление:
, (4)
его черно-белый вариант
(4*)
на каждом A i имеет постоянную яркость 
, и цвет изображения (4)
(4**)
не меняется на A i и равен 
, i =1,…, N .
Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), 
, то форму изображения (4), имеющего на различных множествах А i имеет несовпадающие яркости 
и различные цвета 
, определим как выпуклый замкнутый в 
конус:
. (4***)
v(a) , очевидно, содержится в n × N мерном линейном подпространстве
, (4****)
которое назовем формой a( × ) в широком смысле.
Форму в широком смысле любого изображения a( × ), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах A i ,i=1,…,N, определим как линейное подпространство 
, натянутое не вектор-функции Fa( × ),F Î F, где F — класс преобразований 
, определенных как преобразования векторов a(x) ® Fa(x) во всех точках x Î X ; здесь F — любое преобразование 
. Тот факт, что F означает как преобразование , так и преобразование 
, не должен вызывать недоразумения.
Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a( × ) (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах А i , i=1,…………..,N . Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L( a ( × )), если речь идет о форме в широком смысле.
Лемма 3
. Пусть {А i } — измеримое разбиение X: 
.
Изображение
(3) имеет на каждом подмножестве A i :
— постоянную яркость 
и цвет 
, если и только если выполняется равенство (4);
— постоянный цвет 
, если и только если в (3) 
;
— постоянную яркость f i , i=1,…, N , если и только если в (3) 
не зависит от 
, i=1,……,N.
Доказательство
. На множестве A i яркость и цвет изображения (3) равны соответственно
, 
, i=1,.…..,N.
Если выполнено равенство (4), то 
и 
от 
не зависят. Наоборот, если 
и 
, то и 
, т.е. выполняется (4).
Если 
, то цвет 
не зависит от 
. Наоборот, пусть 
не зависит от 
. В силу линейной независимости 
координаты ( i) (x) не зависят от 
, т.е. 
и, следовательно, 
где 
— яркость на A i и 
. Последнее утверждение очевидно n
Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств A i , i=1,…,N, поля зрения X .
Итак, пусть в согласии с леммой 3
, (5)
где, 
— индикаторная функция A i , 
, функция g i задает распределение яркости
(6)
в пределах A i при постоянном цвете
, i=1,…,N , (7)
причем для изображения (5) цвета j (i) , i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g (i) , i=1,.…..,N, — удовлетворяющими условиям 
i=1,.…..,N.
Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки 
, позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на A i задается функцией 
а цвет на A i равен
(7*)
Форму изображения (5) определим как класс всех изображений
(8)
,
каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого A i , i=1,…,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f () (5), поскольку в изображении 
на некоторых различных подмножествах A i , i=1,…,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f () (5). Совпадение цвета 
на различных подмножествах A i , i=1,…,N ведет к упрощению формы изображения 
по сравнению с формой f() (5). Все изображения 
, имеющие различный цвет на различных A i , i=1,…,N , считаются изоморфными f и между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f . Если 
, то, очевидно, 
.
Если в (8) яркость 
, то цвет 
на A i считается произвольным (постоянным), если же 
в точках некоторого подмножества 
, то цвет на A i считается равным цвету на 
, i=1,…,N.
Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения 
, форма которых не сложнее, чем форма 
, должны иметь на A i , i=1,…,N , тот же цвет, что и у 
то следует потребовать, чтобы 
, в то время, как яркости 
остаются произвольными (если 
, то цвет на A i определяется равным цвету f на A i , i=1,…,N ).
Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости 
при неизменном цвете j ( x ) в каждой точке 
. Множество, содержащее все такие изображения
(9)
назовем формой в широком смысле изображения 
, у которого f(x) ¹ 0, m -почти для всех 
, [ср. 2]. 
является линейным подпространством 
, содержащем любую форму
, (10)
в которой включение 
определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: 
, то 
— выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий .
Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения.
Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения 
в том случае, когда считается, что 
для любого преобразования 
, действующего на изображение 
как на вектор 
в каждой точке 
и оставляющего 
элементом 
, т.е. изображением. Форма в широком смысле определяется как оператор 
наилучшего приближения изображения 
изображениями 
где 
— класс преобразований 
, такой, что 
. Иначе можно считать, что
(10*)
а 
— оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма 
. Характеристическим для 
является тот факт, что, если f (x)= f (y), то для любого 
.
5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения 
поля зрения X .
Задано разбиение 
, требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом 
.
Рассмотрим задачу наилучшего приближения в цветного изображения f ( × ) (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение 
поля зрения X и требуется определить 
из условия
(11)
Теорема 1 .
Пусть 
. Тогда решение задачи (11) имеет вид
, i=1,…,N, j=1,…,n, (12)
и искомое изображение (4) задается равенством
. (13)
Оператор 
является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****) 
изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах каждого A i , i=1,…,N.
Черно-белый вариант 
(4*) цветного изображения 
(4) является наилучшей в 
аппроксимацией черно-белого варианта 
цветного изображения f , если цветное изображение 
(4) является наилучшей в 
аппроксимацией цветного изображения f . Оператор 
, является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого 
.
В точках множества 
цвет 
(4**) наилучшей аппроксимации 
(4) цветного изображения f (2) является цветом аддитивной смеси составляющих f излучений, которые попадают на 
.
Доказательство
. Равенства (12) — условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П — ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация — ортогональная проекция f на 
. Второе утверждение следует из равенства
, вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств
, i=1,…,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на x Î X . ¦
Замечание 1.
Для любого измеримого разбиения 
ортогональные проекторы 
и 
определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого 
, различны для различных 
, ибо 
, и форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на каждом 
и различна для разных 
,[2].
Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор 
на выпуклый замкнутый конус 
(4***)
Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор 
на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что 
[2]. Дело в том, что оператор 
определяет форму 
изображения (4), а именно
— множество собственных функций оператора 
. Поскольку 
f( × ) — наилучшее приближение изображения 
изображениями из 
, для любого изображения 
из 
и только для таких 
— 
. Поэтому проектор можно отождествить с формой изображения (4).
Аналогично для черно-белого изображения a( × )
, [2]. И проектор 
можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].
Примечания.
Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами 
и 
, которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если 
оператор наилучшего в 
приближения злементами выпуклого замкнутого (в и в 
) конуса 
, то 
. Иначе говоря, для определения наилучшего в приближения 
элементами можно вначале найти ортогональную проекцию 
изображения 
на 
, а затем 
спроецировать в 
на 
. При этом конечномерный проектор 
для каждого конкретного конуса 
может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П .
Форма в широком смысле (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением 
, последнее, в свою очередь определяется изображением
,
если векторы 
попарно различны. Если при этом 
, то форма в широком смысле 
может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством (13).
Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство 
(10*) для произвольного изображения . Пусть 
— множество значений и 
— измеримое разбиение X , порожденное 
, в котором 
— подмножество X , в пределах которого изображение имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором 
, если 
.
Однако для найденного разбиения условие 
, вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на 
. Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение 
можно представить в виде предела (в 
) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений
(*)
где 
— индикатор множества 
, принадлежащего измеримому разбиению 
В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
— 
— C — измеримо, 
;
— N+1 -oe разбиение является продолжением N- го, т.е. для любого 
, найдется i=i(j), 
, такое, что 
;
— минимальная s -алгебра, содержащая все 
, совпадает с C.
Лемма (*). Пусть 
— исчерпывающая последователь-ность разбиений X и 
— то множество из 
, которое содержит 
. Тогда для любой C-измеримой функции 
и m -почти для всех 
[ ]. n
Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения 
. Пусть 
— минимальная s -алгебра, относительно которой измеримо 
, т.е. пусть 
, где 
— прообраз борелевского множества 
, B — s -алгебра борелевских множеств 
. Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на 
и выберем эту, зависящую от 
, исчерпывающую последовательность ( 
— измеримых) разбиений в лемме (*).
Теорема (*). Пусть 
, 
— исчерпывающая последовательность разбиений X , причем — минимальная s — алгебра, содержащая все 
и П (N) — ортогональный проектор 
, определенный равенством 
, 
Тогда
1) для любого
— измеримого изображения 
и почти для всех 
, 
,
2) для любого изображения 
при 
(в ), где П — ортогональный проектор на 
.
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения 
. Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A (N+1) — продолжение разбиения A (N) , N=1,2,…, то последовательность проекторов П (N) , N=1,2,…, монотонно неубывает : 
и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как — множество всех -измеримых изображений и их пределов (в ), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения 
, то для любого изображения 
и для любого 
, ибо 
-измеримо, N =1,2,… n
Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.
Заданы векторы f 1 ,…,f q , требуется определить разбиение 
, на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f 1 ,…,f q.
Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f , в которой задано не разбиение 
поля зрения X , а векторы 
в 
, и требуется построить измеримое разбиение 
поля зрения, такое, что цветное изображение 
— наилучшая в аппроксимация f . Так как
, (14*)
то в A i следует отнести лишь те точки 
, для которых 
, 
=1,2,… ,q , или, что то же самое, 
=1,2,…, q . Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись
,
(14)
означает, что множества (14) не пересекаются и 
.
Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение 
, в котором
(15)
и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F , действующий из 
в 
по формуле 
, 
, i =1,…, q . Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения 
и 
, i=1,…,q, можно было считать эквивалентными.
Теорема 2.
Пусть 
— заданные векторы R n . Решение задачи
наилучшего в
приближения изображения f изображениями 
имеет вид 
, где 
— индикаторная функция множества 
. Множество 
определено равенством (15). Нелинейный оператор 
, как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F 2 =F, т.е. является пректором.
Замечание 2.
Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа 
, i =1,…,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию 
, то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств
где 
, и имеет мало общего с разбиением (14).
Замечание 3.
Выберем векторы f i , i=1,..,q единичной длины: 
, i =1,…,q. Тогда
.
(16)
Множества (16) являются конусами в R n , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение 
изображения f инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например 
), в частности, относительно образования теней на f .
Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов 
оператор F , приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения 
соответственно на измеримых множествах 
(любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в ) точкой F: 
, если 
, все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из — пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму.
Иначе говоря, в данном случае формой изображения 
является множество всех изображений, принимающих заданные значения на множествах положительной меры любого разбиения X, и их пределов в .
Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f ( × ) изображениями 
, в котором требуется определить как векторы 
, так и множества 
так, чтобы
.
Следствие 1.
Пусть D i , i=1,…,N, — подмножества R n (15), П — ортогональный проектор (13), 
, где 
. Тогда необходимые и достаточные условия 
суть следующие : 
, где 
, 
.
Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть 
— исходные векторы в задаче (14*), 
— соответствующее оптимальное разбиение (14), F (1) — оператор наилучшего приближения и 
— невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения 
оптимальные векторы 
. Согласно выражению (13) 
, и соответствующий оператор наилучшего приближения П (1) (13) обеспечит не менее точное приближение f ( × ) , чем F (1) : 
. Выберем теперь в теореме 2 
, определим соответствующее оптимальное разбиение 
и построим оператор наилучшего приближения F (2) . Тогда 
. На следующем шаге по разбиению 
строим 
и оператор П (3) и т.д.
В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего 
-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции 
. Выберем произвольно попарно различные векторы 
из f (X) и построим по формуле (15) разбиение R n 
. Для каждого q=1,2,… образуем разбиение E (N(q)) , множества 
, j=1,…,N(q) , которого образованы всеми попарно различными пересечениями 
множеств из 
. Последовательность соответствующих разбиений X 
, i=1,…,N(q), q=1,2… 
-измеримы и 
является продолжением 
5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения 
поля зрения X .
Задано разбиение 
, требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом A i ,i=1,…,N.
Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса.
Запишем изображение (5) в виде
(17)
где 
.
Пусть A 1 ,…,A N — заданное разбиение X , 
— индикаторная функция A i , i=1,…,N. Рассмотрим задачу наилучшего в 
приближения изображения 
изображениями (17), не требуя, чтобы 
(18)
Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из 
, в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A 1 ,…,A N поля зрения X , (см. Лемму 3).
Так как
то минимум S (19) по 
достигается при
, (20)
и равен
(21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
. (22)
В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор 
. (23)
Максимум (неотрицательной) квадратичной формы 
на сфере 
в R n , как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе y i оператора Ф i , отвечающем максимальному собственному значению 
>0,
,
и равен 
, т.е. 
. Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при 
Теорема 3.
Пусть A 1 ,…,A N -заданное измеримое разбиение X, причем (A i )>0, i=1,…,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения 
изображениями g ( × ) 
(17) является изображение
(24)
Операторы 
, i=1,…,N, и 
— нелинейные (зависящие от f ( × ) ) проекторы: П i проецирует в R n векторы 
на линейное подпространство 
, натянутое на собственный вектор 
оператора Ф i (23), отвечающий наибольшему собственному значению i ,
; (25)
П проецирует в изображение на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения 
Невязка наилучшего приближения
(19*)
.
Доказательство. Равентство (24) и выражение для П i следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф i (23). Поскольку Ф i самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Ф i неотрицательны и среди них i — наибольшее.
Для доказательства свойств операторов П i , i=1,…,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f ( × ):
(26*)
Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П i , i=1,…,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.
Пусть f i — cсобственный вектор Ф i , отвечающий максимальному собственному значению i . Чтобы определить 
следует решить задачу на собственные значения для оператора 
:
.
Поскольку rank 
=1, 
имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно i , и ему соответствует единственный собственный вектор f i . Поэтому
.
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для 
n
Лемма 4. Для любого изображения 
решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом 
.
Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор f i оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению i , можно выбрать так, чтобы 
, поскольку в таком случае будут выполнены импликации:
,
составляющие содержание леммы. Действительно, если 
то согласно (23) 
, поскольку включение 
означает, что 
; отсюда и из (25) получим, что 
, i=1,…,N, а поэтому и в (24) 
.
Убедимся в неотрицательности 
. В ортонормированном базисе e 1 ,…,e n , в котором 
, выходной сигнал i- го детектора в точке 
(см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид 
, p=1,…,n,
где 
, 
.
Так как матрица 
симметрическая и неотрицательно определенная ( 
) она имеет n неотрицательных собственных значений 
, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов 
, а поскольку матричные элементы 
, то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение 
— алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным:
. Следовательно, вектор f i определен с точностью до положительного множителя 
, . n
Замечание 4.
Если 
, т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения 
имеет постоянный цвет, то в теореме 3 
, 
.
Наоборот, если 
, то
, т.е. определяется выражением (17), в котором 
.
Итак, пусть в изображении g ( × ) (17) все векторы f 1 ,.….., f N попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A 1 ,…,A N попарно различны. Тогда форма в широком смысле 
изображения (17) есть множество решений уравнения
, , (27)
где 
, f i — собственный вектор оператора Ф i : 
, отвечающий максимальному собственному значению i , i=1,…,N . В данном случае 
, если и только если выполнено равенство (27).
Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения 
, естественно отождествить с формой в широком смысле изображения 
(17).
Заданы векторы цвета j 1 ,…, j q , требуется определить разбиение A 1 ,…, A q , на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета j 1 ,…, j q и оптимальные распределения яркостей
.
Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения 
. (28)
Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы 
. Так как для любого измеримого 
, (29)
и достигается на
, (30)
то, как нетрудно убедиться,
, (31)
где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки x Î X, в которых выполняется равенство 
могут быть произвольно отнесены к одному из множеств A i или A j .
Пусть 
— разбиение 
, в котором
(32)
а F : R n — > R n оператор, определенный условием
(33)
Тогда решение задачи (28) можно представить в виде
, (34)
где 
— индикаторная функция множества A i (31), i=1,…,q и F -оператор, действующий в 
по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).
Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности 
(35)
имеет решение
(36)
Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид
, (37)
где 
— индикаторная функция множества
, (38)
В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F + : R n — > R n , действующий согласно формуле
(39)
где
, так что 
, i=1,…q. (40)
Подытожим сказанное.
Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в приближения изображения 
изображениями на искомых множествах A 1 ,…,A q разбиения X заданные цветами j 1 ,…, j q соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A 1 ,…,A q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) — относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет.
Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов j 1 ,…, j q на некоторых множествах положительной меры A 1 ,…,A q разбиение поля зрения можно назвать оператор 
(34), формой такого изображения является оператор F + (37). Всякое такое изображение g ( × ) , удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F + g ( × ) = g ( × ) , те из них, у которых m ( A i )> 0, i=1,…,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму. n
В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения 
, заданного распределением цвета 
, при произвольном (физичном) распределении яркости, например, 
. Для определения формы 
рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения 
такими изображениями
, (41)
Теорема 5. Решение 
задачи (41) дается равенством
, (42)
в котором 
, где 
. Невязка приближения
, (43)
( 
!) n
Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета 
, назовем выпуклый, замкнутый конус изображений
или — проектор 
на 
.
Всякое изображение g ( × ), распределение цвета которого есть j ( × ) и только такое изображение содержится в 
и является неподвижной точкой оператора
:
g ( × ) = g ( × ). (#)
Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j ( × ), не представлены на изображении f ( × ) = f ( × ) j ( × ) в той области поля зрения, в которой яркость f ( x )= 0, x Î X, будем считать, что — форма любого изображения f ( x ) = f ( x ) j ( x ), f ( x )> 0, x Î X( mod m ), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g ( × ), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f ( × ).
Замечание 5. Пусть j 1 ,…, j N 
— исходный набор цветов, 
, A 1 ,…,A N — соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и
, (34*)
— наилучшее приближение f ( × ). Тогда в равенстве (24)
, (24*)
если A 1 ,…,A N — исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A 1 ,…,A N — заданное в теореме 3 разбиение X и f 1 ,…, f N — собственные векторы операторов Ф 1 ,…,Ф N (23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f 1 ,…, f N и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить j i как цвет f i в (24), i=1,…,N .
Проверка этого замечания не представляет затруднений.
В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A i , i=1,…,N .
Разумеется, условие постоянства цвета на множествах A i , i=1,…,N , на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению 
, так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого A i , i=1,…,N , например, выбрав вместо (17) класс изображений
(17*)
в котором 
в (3).
Поскольку в задаче наилучшего приближения f ( × ) изображениями этого класса предстоит найти 
, векторы 
при любом i= 1 ,…,N , можно считать ортогональными, определив
, (*)
из условия минимума невязки по 
. После этого для каждого i=1,…,N векторы должны быть определены из условия
(**)
при дополнительном условии ортогональности
. Решение этой задачи дается в следующей лемме
Лемма 5. Пусть 
ортогональные собственные векторы оператора Ф i (23), упорядоченные по убыванию собственных значений:
.
Тогда решение задачи (**) дается равенствами 
.
Доказательство. Заметим, что, поскольку Ф i — самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в R n . Пусть P i — ортогонально проецирует в R n на линейную оболочку 
собственных векторов 
и
[ P i Ф i P i ] — сужение оператора P i Ф i P i на 
. Тогда левая часть (*) равна следу оператора [ P i Ф i P i ]
, где 
— j -ое собственное значение оператора 
(см., например, [10]). Пусть 
. Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], 
, откуда следует утверждаемое в лемме. ¦
Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.
Теорема 3*
. Наилучшее приближение любого изображения f ( × ) изображениями (17*) имеет вид
,
Где 
: ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи
.
Невязка наилучшего приближения равна
. n
Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы 
, и надлежит определить измеримое разбиение 
и функции 
, как решение задачи
(30)
При любом разбиении 
минимум в (30) по 
достигается при 
, определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что
(31)
где точки 
, в которых выполняется равенство 
могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в 
, либо в 
. Это соглашение отмечено звездочкой в (31).
Таким образом доказана
Теорема 6.
Пусть заданные векторы R n . Решением задачи (30) является изображение
,
где ортогональный проектор
определен равенством (25), а 
— индикаторная функция множества (31), i=1,…,N. Невязка наилучшего приближения равна
. n
Замечание 5.
Так как при 
,
то условия (31), определяющие разбиение 
, можно записать в виде
, (32)
показывающем, что множество 
в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения 
, не изменяющего его цвет .
Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f ( × ) изображениями (17), при котором должны быть найдены 
и c i 0 , i=1,…,N, такие, что
.
Теорема 7. Для заданного изображения f ( × ) определим множества 
равенствами (32), оператор П — равенством (24), 
— равенствами (25). Тогда 
,
определено равенством
(32), в котором 
— собственный вектор оператора Ф i (23), отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) 
, наконец, 
будет дано равенством (20), в котором 
, где 
— собственный вектор оператора 
, отвечающий наибольшему собственному значению 
; наконец,
. n
Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании 
: Для изображения f ( × ) зададим 
и по теореме 5 найдем 
и 
, затем по теореме 3, используя найдем 
и 
. После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по найдем 
и 
и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений 
очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность 
, k =1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности 
.
Формы 
(10) и 
(9) удобно задавать операторами П f и П * f соответственно.
Теорема 7. Форма 
в широком смысле изображения 
определяется ортогональным проектором П * f :
,
при этом
и 
.
Доказательство. Так как для 
, то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум 
, решение которой определяется условиями (см., например, [11]) 
. Отсюда следует, что 
и тем самым доказано и второе утверждение n
Замечание. Так как 
, где f i (x) — выходной сигнал i -го детектора в точке 
, причем f i (x) ³ 0 ,i=1,…, n , и, следовательно цвет 
реальных изображений непременно имеет неотрицательные 
, то для реальных изображений 
, условия 
и 
, эквивалентны. Если же для некоторого 
, то условие 
не влечет 
. Заметим также, что для изображений g ( × ), удовлетворяющих условию 
, всегда 
.
Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением
(40)
В котором
. Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f ( × ) , в которых f 1 ( × ) — любая неотрицательная функция из 
, j 1 ( × ) — фиксированное векторное поле цвета, f 2 ( × ) — термояркость, j 2 ( × ) — термоцвет в точке 
. Форма П *f видимой компоненты f ( × ) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче
, в данном случае
, причем П *f действует фактически только на «видимую компоненту» g ( × ), обращая «невидимую, ИК, компоненту» g ( × ) в ноль.
Форма ИК компоненты f ( × ) может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований j 2 ( × ) f 2 ( × ).
Некоторые применения.
Задачи идентификации сцен.
Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.
1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения .
Можно ли считать f ( × ) и g ( × ) изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней?
В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f ( × ) и g ( × ) можно считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета 
, для которого v ( j ( × )) содержит f ( × ) и g ( × ). Если 
, и 
, то, очевидно, существует 
, при котором f ( x ) Î v ( j ( × )), g( x ) Î v ( j ( × )), а именно, 
, 
, если 
, 
, если 
, и, наконец, 
— произвольно, если 
.
На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать g ( × ) изображением сцены, представленной изображением f ( × )? Ответ следует считать утвердительным, если
.
Здесь j ( × ) — распределение цвета на изображении f ( × ), символ ~ 0 означает, что значение d ( g ( × )) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, — наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g ( × ) и f ( × ) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g ( × ) по сравнению с распределением цвета f ( × ), представлены в 
.
2). Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения .
Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f ( × ), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава освещения?
Пусть П — форма в широком смысле изображения f ( × ), определенная в теореме @, П * — форма f ( × ). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если 
. Если изменение g ( × ) обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут представлены на 
.
3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.
Пусть f ( × ) — заданное изображение, A Ì X — подмножество поля зрения, c A ( × ) — его индикатор, c A ( × ) f ( × ) -назовем фрагментом изображения f ( × ) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на f ( × ). Пусть g ( × ) — изображение той же сцены, полученное при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сравнению с f ( × ). Задача состоит в том, чтобы указать на g ( × ) фрагмент изображения, представляющий на f ( × ) фрагмент сцены и совместить его с c A ( × ) f ( × ).
Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R 2 ->R 2 , преобразование изображения 
назовем сдвигом g ( × ) на h. Здесь
Q
( h ): R n ->R n , h Î H, — группа операторов. Векторный сдвиг на h ¢ Î H даст
.
В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g ( × ) в “окне” A :
(100)
причем, поскольку 
где 
то в (100) 
— ограничение на сдвиг “окна” А , которое должно оставаться в пределах поля зрения X.
Если кроме цвета g ( × ) может отличаться от f ( × ), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при неизменном распределении цвета и 
— форма фрагмента f ( × ), то задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей задаче на минимум
.(101)
При этом считается, что фрагмент изображения g ( × ), соответствующий фрагменту c A ( × ) f ( × ), будет помещен в “окно”. А путем соответствующего сдвига h=h * , совпадает с c A ( × ) f ( × ) с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это означает, что
.
т.е. в (101) при h=h * достигается минимум.
4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных.
Рассмотрим два изображения 
и 
. Определим форму в широком смысле 
как множество всех линейных преобразований 
: 
( A — линейный оператор R 2 ->R 2 , не зависящий от x Î X). Для определения проектора на 
рассмотрим задачу на минимум
. [*]
Пусть 
, 
, тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A * AS — 2trAB ~ 
. Ее решение 
(знаком — обозначено псевдообращение).
= 
= 
Рис.1.
f
e — вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e( × ), j e — его цвет; j 1 , j 2 , j 3 , — векторы (цвета) базовых излучений, b — белый цвет, конец вектора b находится на пересечении биссектрис.
Литература.
[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, — Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.
[2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, — Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064.
[3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, — Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.
[4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, — Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.
[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.
[6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.
[7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-2458.
[8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, — Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.
[9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, — Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-хххх.
[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt’ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE — Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167.
[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989.
[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56).
[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.